名数学家欧拉用无限下推法证明了方程x3＋y3＝z3和x4＋y4＝z4不可能有正整数解。
因为任何一个大于2的整数，如果不是4的倍数，就一定是某一奇素数或它的倍数。因此，只要能证明n＝4以及n是任一奇素数时，方程都没有正整数解，费尔马大定理就完全证明了。n＝4的情形已经证明过，所以，问题就集中在证明n等于奇素数的情形了。
在欧拉证明了n＝3，n＝4以后，公元一八三二年和一八二六年勒让德和狄利克雷各自独立证明了n＝5的情形，公元一九三九年拉梅证明了n＝7的情形。就这样，一个一个奇素数证下去的长征便开始了。
其中，德国数学家库默尔作出了重要贡献。他用近世代数的方法，引入了自己发明的“理想数”和“分圆数”的概念，指出费尔马大定理只可能在n等于某些叫非正则素数的值时，才有可能不正确，所以只需对这些数进行研究。
这样的数，在100以内，只有37、59、67三个。他还具体证明了当n＝37、59、67时，方程xn＋yn＝zn是不可能有正整数解的。这就把费尔马大定理一下推进到n在100以内都是成立的。库默尔“成批地”证明了定理的成立，人们视之为一次重大突破。公元一八五七年，他获得巴黎科学院的金质奖章。
这一“长征”式的证法，虽然不断地刷新着记录，如公元一九九二年更进到n＝1000000，但这不等于定理被证明。看来，需要另辟蹊径，这十万万马克奖给谁。
从费马时代起，巴黎科学院曾先后两次提供奖章和奖金，奖励证明费尔马大定理的人，布鲁塞尔科学院也悬赏重金，但都无结果。
公元一九零八年，德国数学家佛尔夫斯克尔逝世的时候，将他的十万万马克赠给了德国哥庭根科学会，作为费马大定理的解答奖金。哥庭根科学会宣布，奖金在一百年内有效，哥庭根科学会不负责审查稿件。